Exponentielles Wachstum – was ist das? – Roland Spinola

Damit hatte keiner gerech­net. Wenn dieses Wachs­tum so weiter geht, hat die Stadt nach weite­ren 20 Jahren 1 Milli­on Einwoh­ner! Expo­nen­ti­el­les Wachs­tum wird von den wenigs­ten Menschen verstan­den, weil es in unse­ren natür­li­chen Lebens­pro­zes­sen (fast) nicht vorkommt. Ein weite­res Merk­mal dieser Art des Wachs­tums besteht darin, dass die Kurven plötz­lich immer stei­ler werden und damit ein Über­ra­schungs­ef­fekt eintritt. Expo­nen­ti­el­les Wachs­tum liegt vor, wenn eine Basis­men­ge prozen­tu­al wächst. Es führt immer zur Kata­stro­phe, wenn es nicht in einem frühen Stadi­um begrenzt wird: Beispiel: Gehirn­zel­len­wachs­tum in den ersten Wochen nach der Geburt wird plötz­lich gestoppt – die weite­re Entwick­lung erfolgt in der immer komple­xe­ren Vernet­zung. Krebs ist ein expo­nen­ti­el­les Wachs­tum, das in der Kata­stro­phe endet. Für die Insta­bi­li­tät in dyna­mi­schen Syste­men gibt es zwei Ursa­chen: Die posi­ti­ve Rück­kopp­lung führt zu Wachs­tum, das Fehlen von Dämp­fungs­ele­men­ten verhin­dert die Begren­zung dieses Wachs­tums. Posi­ti­ve Rück­kopp­lung ist das, was im Volks­mund „Schnee­ball-Effekt“ oder „Teufels­kreis“ genannt wird, ein sich selbst­ver­stär­ken­der Prozess, der für immer stär­ke­res Wachs­tum sorgt. Peter Senge gibt in seinem Buch „The Fifth Disci­pli­ne“ einige gute Beispie­le: Ein gutes Produkt verkauft sich gut, es gibt mehr zufrie­de­ne Kunden, die es ande­ren weiter­erzäh­len, die wieder­um kaufen, zufrie­den sind, es ande­ren erzäh­len und so weiter, bis Dämp­fungs­ele­men­te eintre­ten: Kapa­zi­täts­eng­päs­se, kein Rohma­te­ri­al mehr, Bedarfs­sät­ti­gung tritt ein usw. usw.
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– Ein ande­res Beispiel, das zu Schwund führt: Das Gerücht, eine Bank sei in Schwie­rig­kei­ten, führt zu Abhe­bun­gen, wodurch Geld knapp wird, was wieder­um andere Kunden eben­falls dazu bewegt, ihr Geld aus der Bank zu nehmen, wodurch diese schließ­lich wirk­lich in Schwie­rig­kei­ten gerät. Dieser Prozess endet in der Bank­rott-Kata­stro­phe, wenn nicht Dämp­fungs­ele­men­te einge­baut werden, die ihn wirk­sam stop­pen: Schlie­ßen der Schal­ter, Infor­ma­tio­nen an die Kunden, unbe­schränk­ter Kredit an die Bank von ande­ren Banken, bis das Vertrau­en wieder­her­ge­stellt ist – um nur ein paar Möglich­kei­ten zu nennen. Die „Bevöl­ke­rungs­ex­plo­si­on“ ist ein weite­res Beispiel, an dem sich das „unbe­greif­li­che“ des expo­nen­ti­el­len Wachs­tums erken­nen lässt: Bis zur ersten Milli­ar­de Menschen auf der Erde im Jahr 1804 vergin­gen Millio­nen Jahre. Die zweite Milli­ar­de wurde 123 Jahre später erreicht, im Jahr 1927; die dritte Milli­ar­de, 1960, brauch­te nur 33 Jahre und die vierte wurde 1974 nach nur weite­ren 14 Jahren erreicht. Die Bevöl­ke­rung wächst weiter – aller­dings nicht in dieser alar­mie­ren­den Geschwin­dig­keit – im Augen­blick mit 1,6 % pro Jahr. Mit der 72er-Regel kann die Anzahl der Jahre bis zur Verdopp­lung ange­nä­hert berech­net werden: Zeit in Jahren = 72/p, wobei p der Prozent­satz, des Wachs­tums ist. Wenn also die Welt­be­völ­ke­rung 1987 bei 5 Milli­ar­den lag und mit 1,6 % pro Jahr wächst, dauert es etwa 45 Jahre (also jetzt nur noch 13 Jahre), bis wir bei 10 Milli­ar­den ange­kom­men sind!
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Es gibt viele Geschich­ten und Meta­phern, die uns helfen können, expo­nen­ti­el­les Wachs­tum besser zu begrei­fen; hier sind ein paar Beispie­le:
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In einer Ecke eines Teiches begin­nen Seero­sen so zu wach­sen, dass sich ihre Menge täglich verdop­pelt. Zunächst fällt die bedeck­te Fläche nicht so auf – nach 27 Tagen ist erst ein Achtel der Seeflä­che bedeckt. Frage: Wie viele Tage dauert es, bis der ganze See bedeckt ist? Antwort nur 3 Tage! Am 28. Tag sind ein Vier­tel bedeckt am 29. Tag die Hälfte und am 30. Tag ist der See voll­stän­dig zuge­wach­sen. • Ein beson­ders eindrucks­vol­les Beispiel wurde vor ein paar Jahren in der Zeit­schrift Econo­mist gebracht und von Raju Varghe­se von der Firma Intel­l­i­soft im Inter­net publi­ziert: Nehmen Sie ein DIN-A4-Blatt und falten es mehr­fach, wobei Sie die Dicke des Papie­res immer wieder verdop­peln. Gehen Sie davon aus, dass das Papier 0,1 mm dick ist (das entspricht norma­lem 80g-Papier) und versu­chen Sie, diese Fragen zu beant­wor­ten:
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Wie oft können Sie das Papier falten und dick ist das Gebil­de dann?
Wie dick ist es nach 10, 20, 50 und 100 Faltun­gen?
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Die Antwor­ten werden Sie verblüf­fen: Mehr als 7-mal ist nicht zu schaf­fen – dann haben Sie bereits die Dicke eines Notiz­bu­ches. Nach 10 Faltun­gen entspricht die Dicke einer Hand­brei­te; nach 20 Faltun­gen sind es 100 Meter, nach 50 Faltun­gen die Entfer­nung zur Sonne und bei 100 Faltun­gen sind Sie mit 12 Milli­ar­den Licht­jah­ren beim wahr­schein­li­chen Durch­mes­ser des Univer­sums ange­langt.
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Die dritte Geschich­te: Dem Erfin­der des Schach­spiels wurde von einem dank­ba­ren Herr­scher in China die Erfül­lung eines Wunschs zuge­si­chert. Der Erfin­der erbat sich pro Tag eine Menge Reis, die sich durch folgen­de Proze­dur ergibt:
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Auf das erste Schach­feld wird am ersten Tag ein Reis­korn gelegt, auf das zweite am zwei­ten Tag die doppel­te Menge, also 2, auf das dritte wieder­um die doppel­te Menge, also 4, und so weiter bis zum 64. Feld am 64. Tag. Dem Herr­scher schien die Bitte leicht erfüll­bar – als aber am Ende des ersten Monats die Reis­men­ge für diesen Tag auf 35 Tonnen ange­wach­sen war, musste er einse­hen, dass bei Erfül­lung des Wunsches alle Reis­ern­ten dieser Welt nicht ausrei­chen würden! Berech­net werden die Beispie­le nach der Formel 2 hoch n (2n), wobei n die Anzahl der Verdopp­lun­gen darstellt, also die Faltun­gen beim Papier oder die Anzahl der Schach­brett­fel­der minus 1. Wenn Sie also von einem Gewicht von 0,033 g je Reis­korn ausge­hen und berech­nen, dass 2 hoch 63 = ca. 0,9 x 10 hoch 18 ist, kommen Sie zu einer Reis­men­ge von ca. 30 Milli­ar­den Tonnen, die der Erfin­der am 64. Tag zu bekom­men hätte – zusätz­lich zu all dem, was er vorher schon bekom­men hat!
Bei diesen drei Geschich­ten sind die Effek­te beson­ders drama­tisch, weil das Wachs­tum jeweils 100 % beträgt – aber das Prin­zip ist natür­lich das Glei­che wie bei nied­ri­ge­ren Prozent­sät­zen.
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